基于核心素养下初中平面几何教学设计与实施的教学案例

加里宁说过：数学是思维的体操。在数学教学中，我们要通过数学基础知识载体，全面揭示数学思维过程，启迪和发展学生思维，将知识发生、发展过程与学生学习知识的心理活动统一起来。课堂教学中充分有效地进行思维训练，是数学教学的核心，它不仅符合新课改的要求，也符合知识的形成与发展以及学生的认知过程，体现了数学教育的实质性价值。因此，我们在平时的教学中要注重学生的思维训练。

初中数学中的平面几何“动点问题”一直是初中毕业学业水平考试之前综合复习时的一个重点思维训练内容。学会解题是学好数学的必由之路。掌握解初中数学综合题的思路、方法和技巧，是初中毕业学业水平考试之前综合复习时的一个重点内容。同时，综合题的解答情况也直接影响到高一级学校对中考学生的选拔功能。教师想要提高综合题教学的课堂教学效率，就应注重数学综合题的解法研究。

下面这道题是笔者在初中毕业数学复习时使用的一套综合测试的附加题，分值20分。笔者随机抽取了学校培优辅导兴趣班的6名初中毕业年级的学生进行解题研究，结果发现这6位学生完成的答卷中，只有2名学生得分在15分以上，其他4名学生得分均只有5至8分，成绩不是很理想。究其原因，主要有两点：一是畏难情绪严重。大部分学生一见到这么多的文字、数字及图形信息后，大脑中一片浆糊，不知道要如何下手，懒得动脑筋去梳理题意，乱做一通了事。二是考虑不周全，答案不全面。

在与学生一起剖析、分解、探究这道题目的解答过程中，笔者发现此题有进一步深入分析、挖掘、拓展、变式的研究价值。

华罗庚在1962年对广东省数学会会员和中学教师的一次讲中谈到“怎样学好数学”时说：学好数学要常练、苦练、活练。笔者在教育教学中也一直认同这一点：学好数学离不开解题。但是，数学题目多如牛毛，不可能题题都能解到，也不必都一一解到。师生更应该见一叶而知秋，从一道题、从一类题出发，进行深入探究思考，总结规律，举一反三，融会贯通，从而提高数学思维能力和解题水平。

下面，我们来看看如何对这道动点综合题进行解法研究：

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,∠C=90°，BC=12，AD=18，AB=10。动点P、Q分别从点D，B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上，以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动，设运动的时间为t(秒)。

问题:

设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能，请求出t 的值；如果不能，请说明理由。

这不仅仅是一个动点问题，而且是双动点问题。

    首先分析题意：从题目的描述过程中抓住相关数量关系，引导学生特别注意题目当中的红色文字所表达的意义。在下面的分析过程中，也要特别关注这些文字、数字在图形上的直观表现，顺手牵羊得出一些隐含的有价值的一级结论。如：BC=12，AD=18，这在图形上的直观表现就是6的2倍与3倍的关系；此时，梯形的高CD也随之可求；动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上，以每秒1个单位长的速度向点C运动，说明V=2 V ；数形结合时画图可以更准确，模拟动点运动轨迹更精准，这样更便于分析出P、Q两点在运动过程中的几个关键位置。

    然后找关键位置：引导学生在图形上找到两个动点P、Q在运动过程中的几个关键时刻（t）的准确位置：

 (1）t = 0时，P在D点，Q在B点准备出发。

 (2）t = 6时，DP = 12，BQ = 6 ，AP = 18-12 = 6= BQ，此时PQ//AB。无解。

 (3）t = 9时，P与A重合。无解。

 (4）t=12时，Q、P两点均停止运动。此时BQ = BC = 12 ，DP = 24 。无解。

接着，与学生条分缕析，再着手从以下三个时间段内去分析射线PQ与射线AB的相交情况：

 (5）、0 < t < 6时， 射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP若能为等腰三角形，得从△AEP的三边中的两边相等情况来看，则必须全面考虑以下三种情形：

EA = EP；     PA = PE；    AE = AP。

(6）、6 < t < 9时，考虑到射线的方向性，射线PQ与射线AB不可能相交。不合题意，无解。

(7）、9 < t < 12时，射线PQ与射线AB相交在线段AB上。有解。       

    与学生一起规范书写解答过程：

解：

分以下七种情况讨论：

 (1）t = 0时，P在D点，Q在B点准备出发。无解。

 (2）t = 6时，DP = 12，BQ = 6 ，AP = 18-12 = 6= BQ，此时PQ//AB。无解。

 (3）t = 9时，P与A重合。无解。

 (4）t=12时，Q、P两点均停止运动。此时BQ = BC = 12 ，DP = 24 。无解。

（5）6 < t < 9时，如下图4所示：考虑到射线的方向性，射线PQ与射线AB不可能相交。不合题意，无解。

 (6）、0 < t < 6时， 射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP若能为等腰三角形，得从△AEP的三边中的两边相等情况来看，则必须全面考虑以下三种情形：

EA = EP；    PA = PE；   AE = AP。

1当EA = EP时

如下图1所示：设△AP₁E₁中，AE₁=P₁E₁。

设△AP₁E₁中，AE₁=P₁E₁，

则 Rt△QM₁P₁≌Rt△BN₁A

 ∴ P₁M₁=AN₁

 即 12-3t=6

       3t=6   

        t=2

2当PA = PE时

如下图2所示：设△AP₂E₂中，AE₂=AP₂

则 ∠1=∠2=∠3

∴ BE₂=BQ₂=t

∴ AE₂=10+t

而 AP₂=18-2t

∴ 10+t=18-2t

     3t=8

      t=

3当AE = AP时

如下图3所示：设△AP₃E₃中，AP₃=E₃P₃        

   则 ∠2=∠1=∠A

   ∴ Q₃E₃=Q₃B=t

   而在Rt△Q₃M₃中：

PQ=

   =

∴ E₃P₃=E₃Q₃+Q₃P₃=t+

∴   18-2t=t+

     18-3t=

 [3(6-t)]²=8²+(12-2t)²

    9(36-12t+t²)=64+144-2t+9t²

     324-108t+29=208-72t+9t²

               t=

（7）当9 < t < 12时

    如图6所示：射线PQ与射线AB相交在线段AB上，

    AQ=BE=t,AP=AE=10-t=2t-18

解之得：t=

综上所述，使△AEP为等腰三角形的时间有四个值： t=2，t= ，t=，t= 。

一道这样的动点综合题的内涵挖掘、研究至此，这时师生心中应该都有了畅快淋漓之感。