3．2　提公因式法

第1课时　提单项式公因式

1．理解公因式的概念，会找单项式的公因式；(重点)

2．当公因式是单项式时会提取公因式．(重点、难点)

一、情境导入

1．家里来了客人，丹丹、玲玲、颖颖三人分别拿出水果来招待客人，她们拿出的水果有相同的吗？相同的是什么水果？

有相同的水果，相同的水果是苹果．

2．类似地，对于多项式中相同的因式，我们怎样定义？

二、合作探究

探究点一：公因式

 请你确定多项式9ab²c－6a²b²＋12ab³c²的公因式．

解析：根据公因式的定义分别确定系数和字母及指数．

解：公因式的确定包括两部分：系数和字母及指数.9，－6，12的最大公因数是3；各项都含有的相同字母是a，b，a的最低次是1，b的最低次是2，所以公因式是3ab².

方法总结：公因式的确定：(1)系数：各项系数的绝对值的最大公因数；(2)字母及指数：各项都含有的相同字母的最低次幂．确定公因式时，应先确定系数，再确定字母及指数，字母的指数为1时，指数1可省略不写．

探究点二：提单项式公因式因式分解

 把下列各式因式分解：

(1)x⁴y³－x²y²＋xy；

(2)－12a²b－18ab²＋6a²b².

解析：提公因式法因式分解的关键是确定公因式，提取公因式后，用原多项式的每一项除以公因式，作为括号内余下的项．

解：(1)x⁴y³－x²y²＋xy＝xy(x³y²－xy＋1)；

(2)－12a²b－18ab²＋6a²b²＝－6ab(2a＋3b－ab)．

方法总结：(1)提取公因式后，括号内剩余的项数与原多项式的项数相同；(2)如果提取一个带“＋”号的公因式，括号内各项的符号与原多项式各项的符号相同；如果提取一个带“－”号的公因式，括号内各项的符号与原多项式各项的符号相反；(3)多项式中的某一项全部提取后，括号内剩余的因式“1”不能漏写；(4)多项式的首项为负时，常提取一个负的公因式．

探究点三：提单项式公因式因式分解的应用

【类型一】 利用提公因式法求值

 已知a＋b＝133，ab＝100，求a²b＋ab²的值．

解析：先把a²b＋ab²分解为ab(a＋b)，再把a＋b和ab的值代入计算．因为a²b和ab²有公因式ab，所以可用提公因式的方法因式分解．

解：a²b＋ab²＝ab(a＋b)＝100×133＝13300.

方法总结：解决此类问题时，先把多项式因式分解，再利用整体代入的思想求代数式的值．

【类型二】 利用提公因式法进行简便运算

 利用因式分解计算：999²＋999.

解析：提取999后再计算．

解：999²＋999＝999×(999＋1)＝999×1000＝999000.

方法总结：利用提公因式法因式分解可以简化计算，提高运算的速度和准确率．

【类型三】 利用提公因式法判断整除

 试说明：81⁷－27⁹－9¹³能被45整除．

解析：观察81⁷、27⁹、9¹³这三个数，都可以写成底数为3的数：3²⁸、3²⁷、3²⁶，提取公因式3²⁶，然后计算括号内的项．

解：原式＝9¹⁴－9⁹×3⁹－9¹³＝3²⁸－3²⁷－3²⁶＝3²⁶(3²－3－1)＝3²⁶×5＝3²⁴×3²×5＝45×3²⁴.所以能被45整除．

方法总结：要判断一个式子能被某个数整除，需要把这个式子写成这个数与另一个式子的乘积的形式，解题时常常通过提取公因式来达到目的．

三、板书设计

提公因式法因式分解提公因式法因式分解的应用(提公因式法)